Геометрические построения

Построение касательных к окружностям

Рассмотрим задачу, лежащую в основе решения других задач на проведение касательных к окружностям.

Пусть из точки А (рис. 1) необходимо провести касательные к окружности с центром в точке О .

Для точного построения касательных необходимо определить точки касания прямых к окружности. Для этого точку А следует соединить сточкой О и разделить отрезок ОА пополам. Из середины этого отрезка - точки С , как из центра, описать окружность, диаметр которой должен быть равен отрезку ОА . Точки К 1 и К 2 пересечения окружностей с центром в точке С и с центром в точке О являются точками касания прямых АК 1 и АК 2 к заданной окружности.

Правильность решения поставленной задачи подтверждается тем, что радиус окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной к окружности. Углы ОК 1 А и ОК 2 А являются прямыми, поскольку опираются на диаметр АО окружности с центром в точке С .

Рис. 1.

При построении касательных к двум окружностям различают касательные внутренние и внешние . Если центра заданных окружностей располагаются по одну сторону от касательной, то ее считают внешней, а если центры окружностей находятся по разные стороны от касательной, - внутренние.

О 1 и О 2 R 1 и R 2 . Требуется провести внешние касательные к заданным окружностям.

Для точного построения следует определить точки касания прямых и заданных окружностей. Если радиусы окружностей с центрами О 1 и О 2 начать последовательно уменьшать на одно и то же значение, то можно получить ряд концентрических окружностей меньших диаметров. При этом в каждом случае уменьшения радиуса касательные к меньшим окружностям будут параллельны искомым. После уменьшения обоих радиусов на размер меньшего радиуса R 2 окружность с центром О 2 обратится в точку, а окружность с центром О 1 преобразится в концентрическую окружность радиусом R 3 , равным разности радиусов R 1 и R 2 .

Используя описанный ранее способ, из точки О 2 проведем внешние касательные к окружности радиусом R 3 , соединим точки О 1 и О 2 , разделим точкой С отрезок О 1 О 2 пополам и проведем радиусом СО 1 дугу, пересечение которой с заданной окружностью определит точки касания прямых О 2 К 1 и О 2 К 2 .

Точка А 1 и А 2 касания искомых прямых с большей окружностью располагается на продолжении прямых О 1 К 1 и О 1 К 2 . Точки В 1 и В 2 касания прямых с меньшей окружностью находятся на перпендикулярах с основанием О 2 соответственно к вспомогательным касательным О 2 К 1 и О 2 К 2 . Располагая точками касания можно провести искомые прямые А 1 В 1 и А 2 В 2 .

Рис. 2.

Пусть заданы две окружности с центрами в точках О 1 и О 2 (рис. 2), имеющие радиусы соответственно R 1 и R 2 . Требуется провести внутренние касательные к заданным окружностям.

Для определения точек касания прямых с окружностями используем рассуждения, аналогичные приведенным при решении предыдущей задачи. Если уменьшить радиус R 2 до нуля, то окружность с центром О 2 обратиться в точку. Однако в этом случае для сохранения параллельности вспомогательных касательных с искомыми радиус R 1 следует увеличить на размер R 2 и провести окружность радиусом R 3 , равным сумме радиусов R 1 и R 2 .

Из точки О 2 проведем касательные к окружности радиусом R 3 , для чего соединим точки О 1 и О 2 , разделим точкой С отрезок О 1 О 2 пополам и проведем дугу окружности с центром в точке С и радиусом СО 1 . Пересечение дуги с окружностью радиусом R 3 определит положение точек К 1 и К 2 касания вспомогательных прямых О 2 К 1 и О 2 К 2 .

Точка А 1 и А 2 R 1 находится на пересечении этой окружности с отрезком О 1 К 1 и О 1 К 2 . Для определения точек В1 и В2 касания искомых прямых с окружностью радиусом R 2 следует из точки О2 восставить перпендикуляры к вспомогательным прямым О2К1 и О2К2 до пересечения с заданной окружностью. Располагая точками касания искомых прямых и заданных окружностей, проведем прямые А1В1 и А2В2 .

Рис. 3.

Уроки по программе КОМПАС.

Урок №12. Построение окружностей в Компас 3D.
Окружности касательные к кривым, окружность по двум точкам.

В компас 3D имеется несколько способов построения касательных окружностей:

• окружность касательная к 1-ой кривой;
• окружность касательная к 2-ум кривым;
• окружность касательная к 3-м кривым;

Чтобы построить окружность касательную к кривой, нажимаем кнопку "Окружность касательная к 1 кривой" в компактной панели, или в верхнем меню последовательно нажимаем команды "Инструменты" - "Геометрия" - "Окружности" - "Окружность касательная к 1 кривой".

При помощи курсора указываем сначала кривую, через которую пройдет окружность, затем задаем 1-ю и 2-ю точку этой окружности (координаты точек можно вводить на панели свойств).

На экране отобразятся фантомы всех возможных вариантов окружностей. При помощи курсора выбираем те которые нам необходимы и фиксируем нажатием кнопки "Создать объект". Завершаем построение нажатием кнопки "Прервать команду".

Перед тем как задать вторую точку можно ввести значение радиуса или диаметра в соответствующее поле на панели свойств. Такая окружность будет построена не всегда. Это зависит от заданного радиуса или диаметра. О невозможности построения будет свидетельствовать исчезновение фантома после ввода значения радиуса.

Если известна точка центра окружности, её также можно задать на панели свойств.

Для построения окружности касательной к двум кривым нажимаем кнопку "Окружность касательная к 2 кривым" в компактной панели. Либо в верхнем меню последовательно нажимаем команды "Инструменты" - "Геометрия" - "Окружности" - "Окружность касательная к 2 кривым" .

При помощи курсора указываем объекты, которых должна касаться окружность. На экране отобразятся фантомы всех возможных вариантов построения.

Если известно положение точки принадлежащей окружности, то её необходимо задать при помощи курсора, либо ввести координаты в панели свойств. В панели свойств также можно вводить значения радиуса или диаметра. Для завершения построения выбираем нужный фантом и последовательно нажимаем кнопки "Создать объект" и "Прервать команду" .

Для построения окружности касательной к трем кривым нажимаем кнопку "Окружность касательная к 3 кривым" в компактной панели. Либо в верхнем меню последовательно нажимаем команды "Инструменты" - "Геометрия" - "Окружности" - "Окружность касательная к 3 кривым".

Построения аналогичны предыдущим, поэтому выполните их самостоятельно, результат приведен на рисунке ниже.

Прямая (MN ), имеющая с окружностью только одну общую точку (A ), называется касательной к окружности .

Общая точка называется в этом случае точкой касания.

Возможность существования касательной , и притом проведенной через любую точку окружности , как точку касания, доказывается следующей теоремой .

Пусть требуется провести к окружности с центром O касательную через точку A . Для этого из точки A, как из центра, описываем дугу радиусом AO , а из точки O , как центра, пересекаем эту дугу в точках B и С раствором циркуля, равным диаметру данного круга.

Проведя затем хорды OB и OС , соединим точку A с точками D и E , в которых эти хорды пересекаются с данной окружностью. Прямые AD и AE - касательные к окружности O . Действительно, из построения видно, что треугольники AOB и AOС равнобедренные (AO = AB =AС ) с основаниями OB и OС , равными диаметру круга O .

Так как OD и OE - радиусы, то D - середина OB , а E - середина OС , значит AD и AE - медианы , проведенные к основаниям равнобедренных треугольников, и потому перпендикулярны к этим основаниям. Если же прямые DA и EA перпендикулярны к радиусам OD и OE , то они - касательные .

Следствие.

Две касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны и образуют равные углы с прямой, соединяющей эту точку с центром .

Так AD=AE и ∠OAD = ∠OAE потому, что прямоугольные треугольники AOD и AOE , имеющие общую гипотенузу AO и равные катеты OD и OE (как радиусы), равны. Заметим, что здесь под словом “касательная” подразумевается собственно “отрезок касательной ” от данной точки до точки касания.

Другой способ нахождения центра (напр., точеных изделий) – помощью особого инструмента, «центроиска-теля» – основан на свойствах так наз. касательных линий. К а с а т е л ь н о й к окружности называется всякая прямая линия, которая в точке встречи с окружностью перпендикулярна радиусу, проведенному к этой точке. Например, на черт. 174 прямые АВ, CD и EF – касательные к окружности АСЕ . Точки А, С, Е называются «точками касания». Особенность касательной, линии та, что она и м е е т с о к р у ж н о с т ь ю т о л ь к о о д н у о б щ у ю т о ч к у. Действительно, если бы у касательной AB (черт. 175) была с окружностью, кроме этой еще одна общая точка, напр., С , то, соединив ее с центром, мы получили бы равнобедренный треугольник СОА с двумя прямыми углами СА, а это, мы знаем, невозможно (почему?).

С линиями, касательными к окружности, мы встречаемся весьма часто в практической жизни. Веревка, перекинутая через блок, занимает в своих натянутых частях положение касательных прямых к окружности блока. Ремни талей (сочетания нескольких блоков, черт. 176) располагаются по линии общих касательных к окружности колес. Передаточные ремни шкивов тоже занимают положение общих касательных к окружностям шкивов «внешних» касательных в так наз. открытой передаче и «внутренних» – в закрытой.

Как через данную точку вне окружности провести к ней касательную? Другими словами: как через точку А (черт. 177) провести прямую АВ , чтобы угол АВО был прямой? Выполняется это следующим образом. Соединяют А с центром О (чертеж 178). Прямую делят пополам и вокруг середины ее В , как центра, описывают окружность радиусом ВО . Иначе говоря, на ОА строят круг, как на диаметре. Точки пересечения С и D обеих окружностей соединяют с А прямыми линиями: это и будут касательные.

Чтобы в этом убедиться, проведем из центра к точкам С и D вспомогательные прямые ОС и ОD . Углы ОСА и ODA – прямые, так как они вписаны в полуокружность. А это и значит, что ОС и OD – касательные к окружности.

Рассматривая наше построение, мы видим, между прочим, что из каждой точки вне окружности можно провести к ней д в е касательные. Нетрудно убедиться, что обе эти касательные о д и н а к о в о й д л и н ы, т. е., что AC = AD . Действительно, точка О одинаково удалена от сторон угла А ; значит ОА – равноделящая, и следовательно, треугольники ОАС и OAD равны (СУС ).

Попутно мы установили, что прямая, которая делит пополам угол между обеими касательными, проходит через центр круга. На этом основано устройство прибора для разыскания центра точеных изделий – ц е н т р о и с к а т е л я (черт. 179). Он состоит из двух линеек АВ и АС , укрепленных под углом, и третьей линейки BD , край которой BD делит пополам угол между краями

первых двух линеек. Прибор прикладывают к круглому изделию так, чтобы прилегающие к нему края линеек АВ и ВС соприкасались с окружностью изделия. Края будут при этом иметь с окружностью только по одной общей точке, поэтому край линейки должен, согласно сейчас указанному свойству касательных, пройти через центр круга. Прочертив на изделии по линейке диаметр круга, прикладывают центроискатель к изделию в другом положении и прочерчивают другой диаметр. Искомый центр окажется на пересечении обоих диаметров.

Если нужно провести общую касательную к двум окружностям, т. е. провести прямую линию, которая касалась бы одновременно двух окружностей, то поступают следующим образом. Около центра одной окружности, например, около В (черт. 180), описывают вспомогательную окружность радиусом, равным разности радиусов обеих окружностей. Затем из точки А проводят касательные АС и AD к этой вспомогательной окружности. Из точек А и В проводят прямые, перпендикулярные к АС и AD , до пересечения с данными окружностями в точках E, F, H и G . Прямые, соединяющие Е с F, G с H , будут общие касательные к данным окружностям, так как они перпендикулярны к радиусам AE, CF, AG и DH .

Кроме тех двух касательных, которые сейчас были проведены и которые называются в н е ш н и м и, возможно еще провести две другие касательные, расположенные так, как на черт. 181 (в н у т р е н н и е касательные). Чтобы выполнить это построение, описывают вокруг центра одной из данных окружностей – например, вокруг В – вспомогательную окружность радиусом, равным с у м м е радиусов обеих окружностей. Из точки А проводят к этой вспомогательной окружности касательные. Дальнейший ход построения читатели смогут найти сами.

Повторительные вопросы

Что называется касательной? Сколько общих точек у касательной и окружности? – Как провести касательную к окружности через точку, лежащую вне окружности? – Сколько можно провести таких касательных? – Что такое центроис-катель? – На чем основано его устройство? – Как провести общую касательную к двум окружностям? – Сколько таких касательных?